Réciproque du théorème de Pythagore : cours et exercices

Réciproque du théorème de Pythagore , c’est un peu comme un détective qui résout un mystère à l’envers. Normalement, le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, si tu additionnes les carrés des longueurs des deux côtés les plus courts, ça te donne le carré de la longueur du plus long côté (l’hypoténuse).

Mais l’inverse, c’est comme dire : si tu trouves un triangle où cette règle des carrés fonctionne (donc, si a au carré plus b au carré égale c au carré), alors tu peux être sûr que ce triangle est un triangle rectangle. Donc, si tu connais les longueurs des trois côtés d’un triangle et que cette petite formule marche, bingo, c’est un triangle rectangle !

À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?

La réciproque du théorème de Pythagore est super utile pour vérifier si un triangle est un triangle rectangle ou non, juste en connaissant les longueurs de ses côtés.

Disons que tu as un triangle et tu connais la longueur de ses trois côtés, mais tu ne sais pas si c’est un triangle rectangle. Tu peux utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour le découvrir. Si en faisant le calcul (le carré du côté le plus long égale la somme des carrés des deux autres côtés), ça marche, alors le triangle est rectangle.

Comment calculer la réciproque du théorème de Pythagore ?

La preuve du théorème inverse de Pythagore peut être un peu complexe, mais je vais essayer de la rendre aussi simple que possible, surtout avec des exemples.

Énoncé du théorème inverse de Pythagore : Si tu as un triangle avec des côtés de longueurs a, b et c, et si le carré de la longueur du côté le plus long (c) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (a et b), alors ce triangle est un triangle rectangle.

Preuve avec des exemples :

Exemple 1 :

Imaginons un triangle avec des côtés de longueurs 3 cm, 4 cm et 5 cm.
On calcule le carré des deux côtés les plus courts : 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
On calcule maintenant le carré du plus long côté : 5² = 25.
On constate que 3² + 4² = 5², donc selon l’inverse du théorème de Pythagore, ce triangle est un triangle rectangle.

Exemple 2 :

Prenons un autre triangle avec des côtés de longueurs 6 cm, 8 cm et 10 cm.
On fait la même chose : 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
Le carré du plus long côté (10 cm) est aussi 100 (car 10² = 100).
Encore une fois, 6² + 8² = 10², ce qui confirme que ce triangle est aussi un triangle rectangle.

En résumé, si tu trouves que le carré du côté le plus long d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est forcément un triangle rectangle. C’est ce que l’inverse du théorème de Pythagore nous apprend.

Comment rédiger la réciproque du théorème de Pythagore ?

« Si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle, et C est le plus long côté, alors si a² + b² = c², le triangle est un triangle rectangle. »

Dans cette formule :

« a » et « b » représentent les longueurs des deux côtés plus courts du triangle.
« c » représente la longueur du côté le plus long, qu’on appelle l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
« a² » signifie « a au carré », c’est-à-dire ‘’a’’ est multiplié par lui-même.
De même, « b² » signifie « b au carré » et « c² » signifie « c au carré ».
Si la somme de a² et b² est égale à c², alors le triangle est rectangle.

Contraposée du théorème de Pythagore

La contraposée du théorème de Pythagore s’applique pour vérifier qu’un triangle n’est pas rectangle. Elle se formule comme suit :

« Si dans un triangle, la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts n’est pas égale au carré de la longueur du plus long côté, alors ce triangle n’est pas un triangle rectangle. »

En termes mathématiques, si tu as un triangle avec des côtés de longueurs a, b et c, où c est le plus long côté, et que a² + b² ≠ c² (ce qui signifie que la somme des carrés des côtés a et b n’est pas égale au carré du côté c), alors le triangle ne peut pas être rectangle.

Exemple :

Voici un exemple pratique pour illustrer la contraposée du théorème de Pythagore :

Imaginons que tu aies un triangle avec les longueurs de côtés suivantes :

a = 4 cm
b = 6 cm
c = 9 cm

Pour vérifier si ce triangle est rectangle, on utilise la contraposée du théorème de Pythagore :

Calcule la somme des carrés des deux côtés les plus courts :
- a² = 4² = 16
- b² = 6² = 36
- a² + b² = 16 + 36 = 52
Calcule le carré du plus long côté :
- c² = 9² = 81
Compare les deux résultats :
- a² + b² = 52
- c² = 81
- 52 ≠ 81

Puisque la somme des carrés des deux côtés les plus courts (52) n’est pas égale au carré du plus long côté (81), selon la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n’est pas un triangle rectangle.

Réciproque du théorème de Pythagore : exercices

Voici quelques exercices sur la réciproque du théorème de Pythagore :

Exercice 1

Un triangle a des côtés de longueur 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-ce un triangle rectangle ?

Exercice 2

Les côtés d’un triangle mesurent 5 cm, 12 cm et 13 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

Exercice 3

Un triangle a des côtés qui mesurent 8 cm, 15 cm et 17 cm. Détermine si ce triangle est rectangle.

Exercice 4

Les longueurs des côtés d’un triangle sont 9 cm, 40 cm et 41 cm. Est-ce que ce triangle est un triangle rectangle ?

Exercice 5

Un triangle a des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ?