Avant d’aborder la formule de la diagonale d’un rectangle, prenons le temps de comprendre ce que l’on entend par « diagonale d’un rectangle ». La diagonale d’un rectangle est un segment de droite qui relie deux de ses sommets non adjacents. La formule de la diagonale d’un rectangle permet de déterminer sa longueur lorsque les dimensions du rectangle sont connues. Approfondissons notre connaissance de la formule de la diagonale du rectangle en étudiant quelques exemples résolus.
La diagonale d’un rectangle ?
La diagonale d’un rectangle est un segment de droite qui relie deux de ses sommets non adjacents. Dans le rectangle suivant, AC et BD représentent les diagonales. On peut constater que les longueurs de AC et BD sont identiques. Une diagonale divise un rectangle en deux triangles rectangles, dont les côtés sont égaux à ceux du rectangle, avec une hypoténuse. Cette hypoténuse correspond à la diagonale. Dans le rectangle suivant, AC et BD seraient les diagonales. Les longueurs de AC et BD sont identiques.
Comment calculer la diagonale d’un rectangle : formule
La longueur des diagonales d’un rectangle peut être calculée comme suit :
| d = √(L² + l²) |
où :
L = longueur du rectangle
l = largeur du rectangle
Dérivation de la diagonale d’un rectangle
La formule de la diagonale d’un rectangle est dérivée à l’aide du théorème de Pythagore. Considérons un rectangle de longueur « L » et de largeur « l ». Soit « d » la longueur de chaque diagonale.
Appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABD,
d2 = L2 + l2
En prenant la racine carrée des deux côtés,
d = √(L2 + l2)
Ainsi, la formule de la diagonale d’un rectangle est :
d = √(L2 + l2)
où :
L = longueur du rectangle
l = largeur du rectangle
Voyons maintenant les applications de la formule de la diagonale d’un rectangle dans la section suivante.
Exemples utilisant la formule de la diagonale d’un rectangle
Exemple 1
Trouver la longueur de chaque diagonale d’un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 6 cm.
Solution :
À trouver : La longueur de chaque diagonale du rectangle donné.
On sait que :
La longueur du rectangle, l = 8 cm.
La largeur du rectangle, w = 6 cm.
En utilisant la formule de la diagonale d’un rectangle,
d = √(L² + l²)
d = √(82 + 62)
= √100
= 10 cm.
Réponse : La longueur de chaque diagonale est de 10 cm.
Exemple 2
La taille de l’écran d’un téléviseur est la longueur de sa diagonale. Trouver la taille du téléviseur dont les dimensions sont de 16 pouces et 40 pouces.
Solution :
À trouver : La taille (diagonale) du téléviseur.
On sait que :
La longueur du téléviseur, L = 40 unités.
La largeur du téléviseur, l = 16 unités.
En utilisant la formule de la diagonale d’un rectangle,
d = √(L² + l²)
d = √(402 + 162)
= √1856
= 43,08 pouces.
Réponse : La taille (diagonale) du téléviseur donné est de 43,08 pouces.
Exemple 3
Les dimensions d’un rectangle sont de 4 cm et 3 cm. Déterminer la longueur de chaque diagonale d’un rectangle.
Solution :
À trouver : La longueur de chaque diagonale du rectangle donné.
On sait que :
La longueur du rectangle, L = 4 cm.
La largeur du rectangle, l = 3 cm.
En utilisant la formule de la diagonale d’un rectangle,
d = √(L² + l²)
d = √(42 + 32)
= √25
= 5 cm.
Réponse : La longueur de chaque diagonale est de 5 cm.
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